Question

已知函数f(x)=2ax+b/x+lnx,若f'(1)=2,函数f(x)在(0.正无穷)上是单调函数.求a的取值范围.

Answer 1

解：f'(x)=2a-b/x^2+1/x=(2ax^2+x-b)/x^2
由f'(1)=2可得：2a+1-b=2，所以b=2a-1，
即有f(x)=2ax+(2a-1)/x+lnx，f'(x)=(2ax^2+x-2a+1)/x^2
函数f(x)在(0.正无穷)上是单调函数，说明其导函数f‘(x)在(0.正无穷)上没有零点。
设h(x)=2ax^2+x-2a+1=2a(x+1)[x-(2a-1)/2a],x>0.
则只需满足h(x)=0在x属于(0.正无穷)上无解，即解都在x<0上。
若a=0，则上述方程等价于x+1=0，解得x=-1，不在(0.正无穷)上，满足要求。
若a不等于0，只要(2a-1)/2a<0即可。
解得0<x<1/2
综上可知0<=a<1/2。