Question

直线l过抛物线的焦点并且与抛物线y^2=2px相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点

直线l过抛物线y2=2px(p≠0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点.
（1）求证：4x1x2=p2;
（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

Answer 1

证明:(1)焦点(p/2, 0) 则直线l: y=k(x-p/2)
代入抛物线整理得 k²x²-(pk²+2p)x+p²k²/4=0 则x1+x2=(2p+pk²)/k² x1x2=p²/4
∴4x1x2=p²
(2)假设直线l⊥CD,再证明它们交点不是CD的中点.
直线CD ;y=-kx+b 代入y²=2px整理得k²x²-(2bk+2p)x+b²=0 则x1+x2=(2bk+2p)/k² x1x2=b²/k²
y1+y2=-(2bk+2p)/k+b=-(bk+2p)/k 中点((2bk+2p)/2k² -(bk+2p)/2k)
代入直线l. y=k(x-p/2)=k[(2bk+2p)/2k² -p/2]=(2bk+2p-pk²)/2k 不等于-(bk+2p)/2k
∴对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线

Answer 2

满意答案中的直线CD的直线斜率应该是-1/k