Question

等差数列与等差数列前n项和的性质

Answer 1

sn,s2n-sn,s3n-s2n..........成等差数列，公差为n^2*d
证明如下：
sk=ka1+k(k-1)d/2
s2k=2ka1+2k(2k-1)d/2
s3k=3ka1+3k(3k-1)d/2
s2k-sk=ka1+k(3k-1)d/2
s3k-s2k=ka1+k(5k-1)d/2
(s2k-sk）-sk=k^2*d
(s3k-s2k)-(s2k-sk）=k^2*d
所以
等差数列依次每项k之和仍为等差数列,其公差为原公差的k^2倍,即数列sk,s2k-sk,s3k-s2k也为等差数列
例子如下：
设等差数列an的前n项和为sn，若s3=9，s6=36,则a7+a8+a9=?
运用以上的性质，可得：s3,s6-s3,s9-s6
成等差数列
则2(s6-s3)=s3+(s9-s6)
得到s9-s6=2s6-3s3=45
故a7+a8+a9=45
第二个例子
设等差数列前6项为2,4,6,8,10,12
则
s2,
s4-s2,
s6-s4
成等差数列，
s2=6，s4-s2=14，s6-s4=22，它们的公差是8，是2^2
*2，
所以
sn,s2n-sn,s3n-s2n..........成等差数列，公差是n^2*d，而不是n*d。
继续上面这个题，求s20-s18的值
因为s2,
s4-s2,
s6-s4，........是首项为s2，公差为8的等差数列
所以s20-s18=s2+8*9=6+72=78
答毕