Question

已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，

不等式（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]<0 恒成立，则不等式f(1－x)<0的解集为_______

Answer 1

根据不等式（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]<0 恒成立，可的函数f(x+1）在R上是减函数，又因f(x+1)为奇函数，则f(x+1)必过原点，即有f(0+1)=0，即f(1)=0，又因为函数f(x+1)是定义在R上的奇函数，所以
-f(1+x)=f(1-x),所以不等式f(1－x)<0即为f(x+1)＞0，又因为函数f(x+1）在R上是减函数，解得x＜1

Answer 2

因f(x+1)为奇函数，则f(x+1)必过原点，即有f(0+1)=0，即f(1)=0
由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 恒成立知
当x1<x2时，有f(x1)-f(x2)>0
由单调性定义知f(x)为减函数
于是由不等式f(1-x)<0有f(1-x)<f(1)
而由单调性知1-x>1，即x<0