Question

标准正态分布,D(X²+2x+1)怎么算？

标准正态分布,D(X²+2x+1)怎么算

Answer 1

分享一种解法，详细过程是：∵X~N(0,1)，∴X的概率密度f(x)=Ae^(-x²/2)，-∞<x<∞，A=1/√(2π)。根据N(0,1)分布的性质，有E(X)=0，D(X)=1，E(X²)=D(X)=1。
又，D(X²+2X+1)=D(X²)+4D(X)=D(X²)+4。而，D(X²)=E(X^4)-[E(X²)]²=E(X^4)-1。
按照定义，E(X^4)=∫(-∞,∞)(x^4)f(x)dx=2A∫(0,∞)(x^4)e^(-x²/2)dx【令t=x²/2，利用伽玛函数的性质】=3。∴D(X²)=2。
∴D(X²+2X+1)=6。
供参考。