已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5. 求:∠APB的度数
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∠APB=150°。
[证明]
作∠PAQ=60°,使PA=QA且P、Q在AC的两侧。
∵PA=QA=3、∠PAQ=60°,∴△APQ是等边三角形,∴∠AQP=60°、PQ=PA=3。
∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC、∠BAC=60°。
∵∠BAC=∠PAQ=60°,∴∠BAP+∠CAP=∠CAP+∠CAQ,∴∠BAP=∠CAQ。
由PA=QA、AB=AC、∠BAP=∠CAQ,得:△BAP≌△CAQ,
∴PC=QC=4、∠APB=∠AQC。
∵PQ=3、QC=4、PC=5,∴PQ^2+QC^2=PC^2,∴∠PQC=90°。
∴∠AQC=∠AQP+∠PQC=60°+90°=150°,∴∠APB=∠AQC=150°。
[证明]
作∠PAQ=60°,使PA=QA且P、Q在AC的两侧。
∵PA=QA=3、∠PAQ=60°,∴△APQ是等边三角形,∴∠AQP=60°、PQ=PA=3。
∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC、∠BAC=60°。
∵∠BAC=∠PAQ=60°,∴∠BAP+∠CAP=∠CAP+∠CAQ,∴∠BAP=∠CAQ。
由PA=QA、AB=AC、∠BAP=∠CAQ,得:△BAP≌△CAQ,
∴PC=QC=4、∠APB=∠AQC。
∵PQ=3、QC=4、PC=5,∴PQ^2+QC^2=PC^2,∴∠PQC=90°。
∴∠AQC=∠AQP+∠PQC=60°+90°=150°,∴∠APB=∠AQC=150°。
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