Question

设向量组α1 α2 α3线性无关，向量组α2 α3 α4线性相关。

证明:(1) α4可由α1 α2 α3线性表示 (2)α1不能由α2 α3 α4线性表示。

Answer 1

(1)
a1,a2,a3线性无关,所以对于实数x,y,z,若xa1+ya2+za3=0,则x=y=z=0.....(*)
a2,a3,a4线性相关,所以存在不全为零的实数u,v,w,使得ua2+va3+wa4=0
若w=0,则ua2+va3=0,由(*)知,u=v=0,矛盾!
所以有w≠0,a4=-(u/w) a2 - (v/w) a3,即a4可由a1,a2,a3线性表示
(2)
若a1可由a2,a3,a4线性表示,则不妨设a1=pa2+qa3+ra4,p,q,r∈R
又a4=-(u/w) a2 - (v/w) a3,带入有
a1=(p-ru/w)a2+(q-rv/w)a3,这与a1,a2,a3线性无关矛盾!
所以a1不能由a2,a3,a4线性表示

Answer 2

证明：（1）因为向量组α2 α3 α4线性相关，所以向量组α1 α2 α3 α4线性相关
所以k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，其中k1234不全为0
如果k4等于0，即k1α1+k2α2+k3α3=0，与向量组α1 α2 α3线性无关矛盾
（2）向量组α2 α3 α4线性相关，向量组α1 α2 α3线性无关，所以α4可以由α2 α3 线性表示
如果α1能由α2 α3 α4线性表示，即是说α1能由α2 α3线性表示，与向量组α1 α2 α3线性无关矛盾

Answer 3

向量组α1，α2，α3，α4，α5线性相关，则r（α1，α2，α3，α4，α5）＜5；
向量组α2，α3，α4，α5线性无关，则r（α2，α3，α4，α5）=4；
又有r（α1，α2，α3，α4，α5）≥r（α2，α3，α4，α5）
所以，4≤r（α1，α2，α3，α4，α5）＜5，
所以，r（α1，α2，α3，α4，α5）=4
即向量组α1，α2，α3，α4，α5的极大无关组有4个向量，
而向量组α2，α3，α4，α5线性无关，
所以，向量组α2，α3，α4，α5线性无关是向量组α1，α2，α3，α4，α5的极大无关组．
故选：d．