Question

三角函数的和差公式是如何推导出来的？

Answer 1

由Euler公式：e^(iα)=cosα+isinαe^(iβ)=cosβ+isinβ上述两式相乘左边：[e^(iα)][e^(iβ)]=e^[i(α+β)]=cos(α+β)+isin(α+β)右边：(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=(cosαcosβ-sinαsinβ)+i(cosαsinβ+sinαcosβ)根据复数相等的性质，实部等于实部，虚部等于虚部；可得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ再根据正弦函数余弦函数的奇偶性将β换成-β可得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
由上述公式，还可以得到cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβcos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβsin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ令θ=α+β，ψ=α-β；则α=(θ+ψ)/2，β=(θ-ψ)/2作替换可得cosθ+cosψ=2cos[(θ+ψ)/2]cos[(θ-ψ)/2]cosψ-cosθ=2sin[(θ+ψ)/2]sin[(θ-ψ)/2]sinθ+sinψ=2sin[(θ-ψ)/2]cos[(θ-ψ)/2]

Answer 2

sin
α+sin
β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

因为

sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β，

sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β，

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin
αcos
β，

设
α+β=θ，α-β=φ

那么

α=(θ+φ)/2,
β=（θ-φ）/2

把α，β的值代入，即得

sin
θ+sin
φ=2sin(θ+φ)/2
cos(θ-φ）/2
[编辑本段]正切的和差化积

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）

cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边

∴等式成立