Question

已知函数F(x)=lg根号x+1-根号X)

Answer 1

先求f(x)的定义域
x+1>=0
x>=0
(x+1)^0.5-x^0.5>0
解得x>=0
令g(x)=(x+1)^0.5-x^0.5
f(x)=lg(g(x))
f(x)=lgx是增函数，如果g(x)是增函数，f(x)也是增函数，反之则反。
求导数g'(x)=1/(2(x+1)^0.5)-1/(2x^0.5)
=(1/2)(x^0.5-(x+1)^0.5)/(x^0.5×(x+1)^0.5)
x>=0
x
0
g'(x)<0
g(x)在x>=0的区间上是减函数
f(x)在x>=0的区间上是减函数
用复合函数求导也可得出f'(x)=-ln10/(x^0.5×(x+1)^0.5)<0，f(x)是减函数
-lg(2^0.5+1)
=lg(1/(2^0.5+1))
=lg(2^0.5-1)/[(2^0.5+1)(2^0.5-1)]
=lg((1+1)^0.5-1^0.5)
=f(1)
f(x)在x>=0的区间上是减函数
f(log4(x^2))>-lg(2^0.5+1)=f(1)
log4(x^2)<1
x^2<4
-2
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