Question

已知函数f(x)=x²-1分之ax,-1<x<1且a≠0.（1）判断f（x)的奇偶性（2）讨论f(x)的单调性

有详细步骤

Answer 1

解：设x1,x2∈(-1,1),且x2>x1.则：
x1-x2<0,x1-1<0,x2-1<0,x1+1>0,x2+1>0,x1*x2+1>0
f(x1)=(ax1)/(x1²-1）
f(2)=(ax2)/(x2²-1）
所以：可以推导出f(x2)-f(x1)=a(x1*x2+1)(x1-x2)/(x1+1)(x2+1)(x1-1)(X2-1)
当a>0时，f(x2)-f(x1)<0,函数在[-1/2,1/2]上是减函数，
当a<0时，f(x2)-f(x1)>0,函数在[-1/2,1/2]上是增函数，
由于f(-x)=(-ax)/[(-x)²-1]=-(ax)/(x²-1）=-f(x)
所以：函数是奇函数。

Answer 2

解：由题意得：(1)f(x)=ax/(x²-1),-1<x<1且a≠0
f(-x)=-ax/(x²-1)
∴f(x)=-f(x)
∴函数f(x)为奇函数
(2)证明：任取-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=ax1/(x1²-1)-ax2/(x2²-1)
=[x1/(x2²-1)-ax2(x1²-1)]/(x1²-1)(x2²-1)
=[(ax1x2+a)(x2-x1)]/(x1²-1)(x2²-1)
=a[x1x2+1)(x2-x1)]/(x1²-1)(x2²-1)
∵-1<x1<x2<1
∴x2-x1>0,(x1²-1)(x2²-1)>0,x1x2+1>0
∴函数f（x）的单调性取决于a
综上所述： 当a>0时， f(x1)-f(x2)>0,函数单调递增
当a< 0时， f(x1)-f(x2)<0,函数单调递减