Question

在三角形ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且(a+b+c)(a-b+c)=3ac

(1)求2sinAcosC-(A-C)的值(2)若b=3,求三角形ABC的周长最大值

Answer 1

(a+b+c)(a-b+c)=3ac
(a+c)²-b²=3ac
a²+c²-b²=ac
则:
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=1/2
得:
B=60°
(1)
2sinAcosC-sin(A-C)
=2sinAcosC-(sinAcosC-cosAsinC)
=sinAcosC+cosAsinC
=sin(A+C)
=sinB
=√3/2
(2)
b=3
b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=(a+c)²-3ac
因为:(a+c)≥2√(ac)
则:ac≤(1/4)(a+c)²
得:3ac≤(3/4)(a+c)²
则:(a+c)²-b²≤(3/4)(a+c)
(1/4)(a+c)²≤b²
a+c≤2b
则:周长是a+b+c≤3b=9
即三角形周长最大是9