Question

已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y^2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率为√5

求：若有两个半径相同的圆C1,C2,他们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线C的两条渐近线上，过双曲线的右焦点且且斜率为-1的直线l与圆C1,C2都相切，求两圆C1,C2圆心连线的斜率的范围。

Answer 1

y² = 4x = 2px = 2*2x, p = 2, 抛物线焦点F(1, 0), 此为双曲线的右焦点, c = 1
a² + b² = 1
离心率为√5 = c/a = 1/a, a = 1/√5
b = √(1 - a²) = 2/√5

双曲线C的两条渐近线:y = ±bx/a = ±2x

设C1(p, 2p), C2(q, -2q), p > 0, q > 0 (圆心都在x轴上方)
设圆半径为r
直线l斜率为-1, 过双曲线的右焦点, 方程为y - 0 = -(x - 1), x+ y - 1 =0
C1, C2与直线l的距离均为r
C1: r = |p + 2p - 1|/√2 = |3p - 1|/√2

C2: r = |q - 2q - 1|/√2 = |q + 1|/√2

|3p - 1| = |q + 1|
(1) 3p - 1 = -q -1
3p = -q, p, q异号，舍去

(2) 3p - 1 = q + 1
q = 3p - 2
C1,C2圆心连线的斜率k = (2p + 2q)/(p - q)
= (2p + 6p - 4)/(p - 3p + 2)
= 4(2p -1)/(2 - 2p)
= 2(2p - 1)/( 1 - p)
= -4 - 2/(p - 1)
此为反比例函数k = -2/p向右平移一个单位，然后向下4个单位得到的, 而且只取p > 0的部分
k= -4 - 2/(p - 1)的左支取值范围是k > -2 (p = 0, k = -2)
k= -4 - 2/(p - 1)的右支取值范围是k < - 4
k的取值范围: k > -2或 k < -4