Question

初中数学圆的切线

AB是圆O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC……2=PE×PO。试探究：
（1）PC与圆O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若OE：EA=1:2，PA=6，求圆O的半径
图：http://zhidao.baidu.com/question/85410469.html
不用相似可以做吗？

Answer 1

1）证明：连接OC，
∵PC2=PE•PO，
∴PCPE=POPC，
∵∠P=∠P，
∴△PCO∽△PEC，
∴∠PCO=∠PEC，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：设OE=x，
∵OE：EA=1：2，
∴AE=2x，
∵PC2=PA•PB，
∴PA•PB=PE•PO，
∵PA=6，
∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x），
解得，x=1，
∴OA=3x=3，
∴⊙O的半径为3．
（3）解：连接BC，
∵PC2=PA•PB，
∴PC=62，
∴CE=PC2-PE2=72-64=22，
∴BC=CE2+BE2=8+16=26，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA=∠B，
∴sin∠PCA=sin∠B=CEBC=2
22
6=33．

Answer 2

设半径为r
连接OD
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=∠DAC
又∵∠DAC+∠ADC=90°
∴∠ODA+∠ADC=90°
即∠ODC=90°，OD⊥BC
∵tanB=AC/BC=3/4，AC=3
∴BC=4，AB=5
∴sinB=AC/AB=3/5
∴BO=AB-OA=5-r
又sinB=OD/OB=r/(5-r)=3/5
∴r=15/8