Question

在数列{an}中，a1=1，Sn示该数列的前n项和．若已知an=2Sn-1（n∈N*，n≥2） （1）

（1）求证：数列{Sn}是等比数列
解（1）中。。。我的问题是 得
SnSn-1
=3进而判断出数列{Sn}是等比数列了？ 为什么？不是有规定是第二项除第一项等于常数才是吗？

Answer 1

an=2s(n-1) (1)
a(n+1)=2Sn (2)
(2) -(1)，得
a(n+1) -an =2[Sn -S(n-1)]
即 a(n+1)-an =2an
a(n+1)=3an，又a1=1，
所以 {an}是首项为1，公比为3的等比数列。

追问

但答案中 得
Sn/Sn-1=3进而判断出数列{Sn}是等比数列了？ 为什么？

追答

是的，答案当然也没有问题，因为
a(n+1)=3an，
代回（1）（2），得 Sn=3S(n-1)
即Sn/S(n-1)=3
也就是S2=S1=S3/S2=S4/S3=...=3，
从而 {Sn}是等比数列。

追问

那第二问求an的通项。。。。为什么不直接使1*3 ^n-1？

追答

前面的解答有一点问题。
a(n+1)=3an，这里的n≥2，
所以 {an}从第2项起，才是公比为3的等比数列。
所以an的通项公式为
an=1，n=1时，
an=2*3 ^(n-2)，n≥2时

Answer 2

an=2s(n-1) (1)
a(n+1)=2Sn (2)
(2) -(1)，得
a(n+1) -an =2[Sn -S(n-1)]
即 a(n+1)-an =2an
a(n+1)=3an，又a1=1，
所以 {an}是首项为1，公比为3的等比数列

a(n+1)=3an，
代回（1）（2），得 Sn=3S(n-1)
即Sn/S(n-1)=3
也就是S2=S1=S3/S2=S4/S3=...=3，
从而 {Sn}是等比数列。

Answer 3

• vhffhchcrhxfzhtxth