Question

△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA+4OB+5OC=0，求数量积AO·OB、OB·OC、OC·OA

这里的OA、OB、OC均为向量；0为0向量

Answer 1

解：.∵A,B,C在单位圆上，∴｜OA｜=｜OB｜=｜OC｜=1
取OC与X轴的负向重合，于是OC=icos180°+jsin180°=-i,
5oc=-5i.
∵3OA+4OB=-5OC=5i,故可在x轴的正向上取一点D，使｜OD｜=5，
并以OD为斜边，以3｜OA｜=3，4｜OB｜=4作直角三角形，便有：
3OA+4OB=OD=5i.故OA⊥OB，
OA与X轴正向的夹角α=arccos(3/5),(OA在第一象限）
OB与X轴正向的夹角β=arccos(4/5).（OB在第四象限）
于是∠AOC=180°-α=180°-arccos(3/5)
∠COB=180°-β=180°-arccos(4/5)
故OA•OB=｜OA｜｜OB｜cos90°=0
OB•OC=｜OB｜｜OC｜cos∠COB=cos[180°-arccos(4/5)]
=-cosarccos(4/5)=-4/5
OC•OA=｜OC｜｜OA｜cos∠AOC=cos[180°-arccos(3/5)]
=-cosarccos(3/5)=-3/5.

Answer 2

即3OA+4OB=5CO，因为345刚好是一组勾股数，所以OA与OB垂直，所以OA。OB=O。同样利用345组成的夹角可求得OB。OC=-4/5，OC。OA=-3/5。
所以AOC的正弦值为3/5，BOC的正弦值为4/5，所以可求得AOC面积为3/5BOC面积为4/5，AOB面积为1/2，所以三角形ABC面积为6/5

Answer 3

这题有错吧 3OA+4OB+5OC不可能=o

Answer 4

OA,OB,OC不可能为负