Question

已知复数Z满足:|Z|=1且Z≠正负i,求证:Z/(1+Z²)是实数。

Answer 1

设z=a+bi
|z|=1且z不等于正负i，a≠0,b≠±1
a²+b²=1
a²=1-b²
z/(1+z²)
=(a+bi)/[1+(a+bi)²]
=(a+bi)/(a²+1-b²+2abi)
=(a+bi)/(a²+a²+2abi)
=(a+bi)/(2a²+2abi)
=(a+bi)/[2a(a+bi)]
=1/2a是实数

Answer 2

已知|Z|=1且Z≠正负i，
即：Z的模是1，辐角θ满足cosθ≠
0
那么不妨设Z=cosθ+isinθ
带入可得：Z/(1+Z²)
的分母1+Z²=1+(cosθ+isinθ)^2
=1+cosθ^2-sinθ^2+2isinθcosθ
=2cosθ^2
+
2isinθcosθ
=2cosθ(cosθ+isinθ)
而分子Z=cosθ+isinθ
约分即可得到：
Z/(1+Z²)=1/2cosθ
显然是实数（虚部i的系数为0）

Answer 3

已知|Z|=1且Z≠正负i，
即：Z的模是1，辐角θ满足cosθ≠
0
那么不妨设Z=cosθ+isinθ
带入可得：Z/(1+Z²)
的分母1+Z²=1+(cosθ+isinθ)^2
=1+cosθ^2-sinθ^2+2isinθcosθ
=2cosθ^2
+
2isinθcosθ
=2cosθ(cosθ+isinθ)
而分子Z=cosθ+isinθ
约分即可得到：
Z/(1+Z²)=1/2cosθ