Question

如图所示,一根长L=1.5m的光滑绝缘细直杆MN,竖直固定在场强为E=1.0

如图所示，一根长L=1.5m的光滑绝缘细直杆MN,竖直固定在场强为E=1.0×105N/C、与水平方向成θ=30°角的倾斜向上的匀强电场中。杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q=+4.5×10-6C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q=+1.0×10-6C，质量m=1.0×10-2kg。现将小球B从杆的上端N静止释放，小球B开始运动。(静电力常量k=9.0×109N?m2/C2，取g=10m/s2)
(1)小球B开始运动时的加速度为多大?
(2)小球B的速度最大时，距M端的高度h1为多大?
(3)小球B从N端运动到距M端的高度h2=0.61m时，速度为 =1.0m/s，求此过程中小球B的电势能改变了多少?

Answer 1

1. 建立坐标系：因为小球B只在光杆上运动，且光杆对B的支持力与其竖直方向上的受力无关，因此仅需建立一个一维坐标系，定义正方向为竖直向下。
2. 小球B受力分析：就全部受力而言，共受四个力作用：1)重力G，方向竖直向下；2)电场E产生的电场力F1，方向与电场E方向相同；3)光杆对B的支持力N，方向水平向左；4)小球A产生的电场力F2，方向竖直向上。而F1在水平方向上的分力与N是平衡的，因此仅需讨论F1在竖直方向上的分力F1' 即可。故接下来的分析仅基于以下三个力：1)重力G，方向竖直向下；2)电场E产生电场力的竖直方向分量F1' ，方向竖直向上；3)小球A产生的电场力F2，方向竖直向上。
3. 三个受力及其合力的公式表达：设小球B距M端的高度为h
ΣF=G-F1'-F2=mg-Eqsinθ-kQq/h²
可看出合力ΣF仅是关于h的函数。

下面开始解题：
(1) 即求h=L=1.5m时的合力引起的加速度
a0=(ΣF|h=L)/m=g-Eqsinθ/m-kQq/(mL²)=3.2m/s²
(2) ΣF显然是关于h的增函数，随着B下落h逐渐变小，ΣF逐渐变小，由正数逐渐减小变为负数，即受力方向由向下变为向上，因此当ΣF=0时B速度最大
(ΣF|h=h1)=G-F1'-F2=mg-Eqsinθ-kQq/h1²=0
带入数据解得h1=0.9m
(3) 整个系统的能量可以分为三个方面：一是小球B的重力势能；二是小球B的动能；三是由电场E和小球A共同形成电场的电势能。三个能量之和是守恒的，因此能量的该变量之和为0。
-mg(L-h2)+0.5*mv²+E电势=0
带入数据解得E电势=0.084J
注意这里 E电势>0，代表电势能是增大了0.084J。

Answer 2

（1）首先对B受力分析，竖直方向收到电场力的分力F和A的库仑力FA
F=Eqsin30°=0.05N，FA=KQq/L²=0.018N，加速度为a=(mg-F+FA)/m=3.2m/s²（如果g取9.8，则为3m/s²）
（2）小球速度最大时，加速度为0，此时mg=F+FA‘，FA'=mg-F=0.05N
FA'=KQq/h1²，解得h1=0.9m
（3）小球从N往M运动，重力势能减小，转化为动能和电势能。
所以Ep=Ek+E电
E电=mg（L-h2）-mv²/2=0.084J

Answer 3

1。B受力分析，受mg,kqQ/r2,Eqsinθ
式子ma=mg-kqQ/r2-Eqsinθ
a=g-kqQ/(mr2)-Eqsinθ/m
a=3.2m/s
2.当a=0时，速度最大
0=mg-kqQ/r2-Eqsinθ
r2=kqQ、(mg-Eqsinθ)
r=0.9
h1= r=0.9
3.电势能是小球在磁场中的势能
小球在电场中走了（L-h2)tanθ
所以电势能增加了Ek=Eq(L-h2)tanθ=0.0513J

Answer 4

解法如下图：

Answer 5

1.开始时，利用受力分析在干的方向上有：F=mg-Eqsinθ-kQq/L²=0.032N 所以加速度为a=F/m=3.2m/s²
2.当kQq/h1²=mg-Eqsinθ时速度最大。解得：h1=0.9m
3.电势能、动能、重力势能三者守恒，得：E电= mg（L-h2）-0.5mv²=0.084J