Question

如图+抛物线所示y=ax²+bx-4与x轴交于点A(4,0),B(-2,0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点

1．（2012•济宁）如图，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A（4，0）、B（-2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；
（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

解答：
⑴、由抛物线与X轴有两个交点，
可以由两根式设抛物线解析式为：y=a﹙x＋2﹚﹙x－4﹚
∴y=ax²－2ax－8a=ax²＋bx－4，
比较系数得：a=½，b=－1
∴y=½x²－x－4，∴C点坐标为C﹙0，－4﹚；
⑵、∵OA=OC=4，∴AC直线方程为：y=x－4
设P点坐标为P﹙m，0﹚，
∵PD∥AC
∴PD直线方程为：y=x－m，
由B、C两点坐标可以得到BC直线方程为：y=－2x－4，
∴由PD、BC两条直线方程可以求得D点坐标的纵坐标为：﹙－2m－4﹚／3，
∴BP²=﹙m＋2﹚²，
∵BO=2，OC=4，∴BC=√20，
∵PD∥AC，∴BD∶BC=BP∶BA，
∴BD∶√20=﹙m＋2﹚∶6
∴BD=√5﹙m＋2﹚／3，
∴﹙m＋2﹚²=[√5﹙m＋2﹚／3]×√20
解得：m=4／3
∴P点坐标为P﹙4／3，0﹚；
⑶、△PCD面积S=△BPC面积－△BPD面积
=½×﹙m＋2﹚×4－½﹙m＋2﹚×|﹙－2m－4﹚／3|
=﹙－1／3﹚﹙m²－2m－8﹚
∴当m=－﹙－2﹚／2=1时，
S最大=﹙－1／3﹚×﹙1－2－8﹚=3