Question

求助：托勒密定理的证明

Answer 1

一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）
在任意四边形abcd中，作△abe使∠bae=∠cad
∠abe=∠
acd
因为△abe∽△acd
所以
be/cd=ab/ac,即be·ac=ab·cd
(1)
而∠bac=∠dae，，∠acb=∠ade
所以△abc∽△aed相似.
bc/ed=ac/ad即ed·ac=bc·ad
(2)
(1)+(2),得
ac(be+ed)=ab·cd+ad·bc
又因为be+ed≥bd
（仅在四边形abcd是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
所以命题得证
复数证明
用a、b、c、d分别表示四边形顶点a、b、c、d的复数，则ab、cd、ad、bc、ac、bd的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：
(a
−
b)(c
−
d)
+
(a
−
d)(b
−
c)
=
(a
−
c)(b
−
d)
，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与a、b、c、d四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、
设abcd是圆内接四边形。
在弦bc上，圆周角∠bac
=
∠bdc，而在ab上，∠adb
=
∠acb。
在ac上取一点k，使得∠abk
=
∠cbd；
因为∠abk
+
∠cbk
=
∠abc
=
∠cbd
+
∠abd，所以∠cbk
=
∠abd。
因此△abk与△dbc相似，同理也有△abd
~
△kbc。
因此ak/ab
=
cd/bd，且ck/bc
=
da/bd；
因此ak·bd
=
ab·cd，且ck·bd
=
bc·da；
两式相加，得(ak+ck)·bd
=
ab·cd
+
bc·da；
但ak+ck
=
ac，因此ac·bd
=
ab·cd
+
bc·da。证毕。
三、
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形abcd，求证：ac·bd＝ab·cd＋ad·bc．
证明：如图1，过c作cp交bd于p，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△acd∽△bcp．得ac：bc=ad：bp，ac·bp=ad·bc
①。又∠acb=∠dcp，∠5=∠6，∴△acb∽△dcp．得ac：cd=ab：dp，ac·dp=ab·cd
②。①＋②得
ac(bp＋dp)=ab·cd＋ad·bc．即ac·bd=ab·cd＋ad·bc．