Question

求三角形面积最大值。

已知等边三角形ABC的边长为4,点P在其内部及边界上运动,若P到顶点A的距离与其到边BC的距离相等。则三角形PBC面积的最大值为？

Answer 1

把BC水平放置，设BC边上的高线为AD（D为BC中点），
以与BC平行的那条中位线所在的直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则动点P到定点A的距离与到直线BC的距离相等，所以P点在以A为焦点以BC为准线的抛物线
x²=4√3y上，这是开口向上的抛物线，离顶点O越远，P点到直线BC的距离越大，三角形PBC的面积
就越大，所以当运动到抛物线与AB的交点处或BC与抛物线与AC的交点处时，三角形PBC的面积相等且最大；直线AB的方程为y＝√3x+√3; 所以设P（x,√3x+√3);直线BC的方程为y= -√3;
A点的坐标为(0,√3)
p点到A点的距离=√[x²+(√3x+√3-√3)²]=P点到直线BC的距离=|√3x+√3-(-√3)|
4x²=(√3x+2√3)²; x=6-4√3时，P（6-4√3,7√3-12);
此时P点到直线BC的距离为d=|7√3-12-(-√3)|=8√3-12;
所以三角形PBC的面积的最大值为½|BC|×d=½×4×(8√3-12)=8(2√3-3)