Question

用柯西审敛原理判断其收敛性？

Answer 1

|un+1+un+2+...+un+p|=|1/(n+1)-1/(n+2)+...+(-1)^(p+1)/(n+p)|

当p是奇数时,绝对值的内部
1/(n+1)-1/(n+2)+...+(-1)^(p+1)/(n+p)
=[1/(n+1)-1/(n+2)]+[1/(n+3)-1/(n+4)]+...+1/(n+p)
由1/n的单调性可知中括号内每一项都是正的,而且最後一项1/(n+p)也是正的,所以上式>0,那麼可以直接加上绝对值符号得到|un+1+un+2+...+un+p|
而1/(n+1)-1/(n+2)+...+(-1)^(p+1)/(n+p)
=1/(n+1)+[-1/(n+2)+1/(n+3)]+...+[-1/(n+p-1)+1/(n+p)]
根据1/n的单调性,中括号内每一项都是负的,所以上式<1/(n+1)
结合上面两个结论可以得到|un+1+un+2+...+un+p|<1/(n+1)
当p是偶数时同理可知|un+1+un+2+...+un+p|<1/(n+1)
所以对任意正整数p,均有|un+1+un+2+...+un+p|<1/(n+1)
於是对任意ε>0,要让|un+1+un+2+...+un+p|<1/(n+1)<1/n<ε
只要n>1/ε
取N=[1/ε],则n>N时,|un+1+un+2+...+un+p|<ε成立
所以原级数收敛