Question

已知如图,在三角形ABC中，角B=90度，D是边AB上的中点，点E、F分别在边BC、AC上，且EF=EC，DF=DA

求证：点D在角BEF的角平分线上

Answer 1

EF=EC，所以等腰三角形ECF中，角EFC=角ECF
DF=DA，所以等样三角形DAF中，角DFA=角DAF
所以角EFC+角DFA=角ECF+角DAF=90度，所以角DFE=90度
D是AB中点，所以BD=AD=DF
在直角三角形DBE和DFE中，一条边相等，一条公共边，所以两直角三角形全等，
所以角BED=角FED，所以D在角BEF的平分线上。

Answer 2

证明：因为EF=EC，DF=DA
所以∠ C=∠ EFC,∠ A=∠ AFD
又因为∠ A+∠ C=90度
所以∠ EFC+∠ AFD=90度
所以∠ DFE=90度
因为DF=DA，D是边AB上的中点
所以DF=DB
在直角△DBE与直角△DEF中
DE=DE,DB=DF
所以△DBE≌ △DEF（HL)
所以∠ DEB=∠ DEF
即D在角BEF的角平分线上

Answer 3

证明：连接ED
∵∠B＝90
∴∠A+∠C＝90
∵EF＝EC
∴∠EFC＝∠C
∵DF＝DA
∴∠DFA＝∠A
∴∠DFE＝180-（∠DFA+∠EFC）＝180-（∠A+∠C）＝90
∴∠DFE＝∠B
∵D是AB的中点
∴DA＝DB
∴DB＝DF
∵ED＝ED
∴△BED≌△FED （HL）
∴∠BED＝∠FED
∴D在∠BEF的平分线上

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