Question

则该椭圆的离心率的取值范围为

. 已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)。若椭圆上存在点P使a/sinPF1F2=c/sinPF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为

Answer 1

解答：

如图：

设PF1=m,PF2=n

则n∈(a-c,a+c)

利用正弦定理：n/sin∠PF1F2=m/sin∠PF1F1

又∵ a/sin∠PF1F2=c/sin∠PF2F1

∴ n/a=m/c

∴ c/a=m/n=(2a-n)/n=2a/n -1

∴ e+1=2a/n

∴ 2/(e+1)=n/a∈(1-e,1+e)

（1）2/(e+1)>1-e

∴ 2>1-e²

显然成立

（2）2/(e+1)<1+e

∴ (e+1)²>2

∴ e-1<-√2或e+1>√2

∴ e<1-√2或e>√2-1

注意到0<e<1

∴ 椭圆的离心率的取值范围为√2-1<e<1