Question

P是椭圆X2/a2+Y2/b2=1(a>b>0)上的任意一点,F1，F2是它的两个焦点,O为坐标原点，向量OQ=向量PF1+向量PF2,

P是椭圆X2/a2+Y2/b2=1(a>b>0)上的任意一点,F1，F2是它的两个焦点,O为坐标原点，向量OQ=向量PF1+向量PF2,求动点Q的轨迹方程

Answer 1

不妨设F1为左焦点，F1(-f，0)，P(x，y)，则F2(f，0)
则向量PF1=(-f-x，0-y)=(-f-x，-y)，向量PF2=(f-x，0-y)=(f-x，-y)
则向量OQ=向量PF1+向量PF2=(-f-x+f-x，-y+(-y))=(-2x，-2y)
由于O(0，0)，所以Q(2x，2y)
由于P(x，y)在椭圆上，即x，y满足：x^2/a^2+y^2/b^2=1
则有2x，2y满足：(2x)^2/(2a)^2+(2y)^2/(2b)^2=1，注意到(2x，2y)正是Q的坐标
所以Q的轨迹方程为：x^2/(4a^2)+y^2/(4b^2)=1