Question

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC． （1）P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB=PE+PF；

1)P、E、F分别是BC、AC、BD的中点,求证:AB=PE+PF
(2)如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE//AB,PF//DC,那么AB=PE+PF,这个结论还成立吗？如果成立，请证明：若不成立，请说明理由。。
重点第二问！！！！用三角形全等证第二问，拜托了！！！老师要的！！！

Answer 1

貌似你弄错了吧 第二问应该是用三角形相似做 下面是我的解答

在ΔABC中 PE//AB
∴ΔPCE∽ΔBCA
∴CP／CB＝PE／AB ∴PE＝CP×AB／CB
在ΔDBC中 PF//DC
∴BP／BC＝PF／CD ∴PF＝BP×CD／BC
∵AB=DC
∴PE＋PF＝CP×AB／CB＋BP×CD／BC
＝﹙CP×AB＋BP×CD﹚／CB
＝﹙CP×AB＋AB×BP﹚／CB
＝AB
即这个结论还成立

Answer 2

（1）证明：∵P，E，F分别为中点，
∴PE=1/2 AB，PF=1/2 CD．（三角形中位线定理）
∴PE+PF=1/2（AB+CD）．
又∵AB=CD，
∴AB=PE+PF．
（2）成立．
∵PE∥AB，PF∥CD，
∴PE/AB =PC/BC ，PF/CD =PB/BC ，（平行线分线段成比例定理）
∵AB=CD
∴PE/AB +PF/CD =PC/BC +PB/BC
∴(PE+PF)/AB =(PC+PB)/BC ，
∴(PE+PF)/AB =1，
∴PE+PF=AB．

追问

全等证=-=

Answer 3

第一问用中位线，就不再证明了。
第二问
证明：过点P作PG∥AC交AB于G，交BD于H
∵AD∥BC，AB=DC
∴等腰梯形ABCD
∴∠ABC＝∠DCB
∵BC＝CB
∴△ABC≌△DCB （SAS）
∴AC＝BD，∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC
∵PG∥AC
∴∠GPB＝∠ACB，BGP＝∠BAC
∴∠GPB＝∠DBC
∴BH＝PH
∵PE∥AB
∴平行四边形AGPE
∴AG＝PE
∵PF∥CD
∴∠BFP＝∠CDB
∴∠BGP＝∠BFP
∵∠BHG＝∠PHF
∴△BHG≌△PHF （AAS）
∴BG＝PF
∵AB＝AG+BG
∴AB＝PE+PF

Answer 4

下面的回答很细了我就不再重复。关于你说的全等证明，可以沿E点画一平行线，切AB于G点，只要证明△AGE全等于△PFB即可，相关证明不细说了，很容易。