Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足f（1+x）=f（1-x）且方程f（x）=x有两个相等实数根

若函数f(x)在定义域为[m,n]上对应的值域为[2m,2n](1)求m,n的值(2)求f（x）在（-2,2]上的值域

Answer 1

f(x)=x有两个相等实数根
ax²+bx-x=0
b-1=0 b=1
f(x)=ax²+x
f(1+x)=f(1-x)
a(1+x)²+1+x=a(1-x)²+1-x
(2a+1)x=0
a=-1/2
f(x)=-x²/2+x
1
f(m)=-m²/2+m=2m
m=0 m=-2
2
f(x)=-(x+1)²/2+1/2
f(-1)=1/2 是最大值
f(2)=-4
f(-2)=0
值域[-4,1/2]

追问

http://zhidao.baidu.com/question/223592696.html看看这个吧，答案不一样？？？
a(1+x)²+1+x=a(1-x)²+1-x
是什么意思？

追答

(x)=x有两个相等实数根
ax²+bx-x=0
b-1=0  b=1
f(x)=ax²+x
f(1+x)=f(1-x)
a(1+x)²+1+x=a(1-x)²+1-x
(2a+1)x=0
a=-1/2
f(x)=-x²/2+x
1
f(m)=-m²/2+m=2m
m=0  m=-2

m=-2  n=0
2
f(x)=-(x-1)²/2+1/2
f(1)=1/2 是最大值
f(2)=-4
f(-2)=0
值域[-4,1/2]

f(1+x)=f(1-x)

用1+x和1-x替换ax²+x的x

a(1+x)²+1+x=a(1-x)²+1-x

追问

• 你怎么知道m=2m的？

• m不能=2n吗?

追答

根据图形分析的
没有做具体的计算
你参考一下他人的这一部份
我就不再重复了

Answer 2

f(1+x)=f(1-x)
a(1+x)²+b(1+x)=a(1-x)²+b(1-x)
a+2ax+ax²+b+bx=a-2ax+ax²+b-bx
(4a+2b)x=0
所以2a+b=0

又：f(x)=x即ax²+(b-1)x=0有两个相等实数根
所以Δ=(b-1)²=0
所以b=1

所以a=-1/2

所以f(x)=-(1/2)x²+x=-(1/2)(x-1)²+1/2

f(x)在定义域为[m,n]上对应的值域为[2m,2n]

情况1：n<1
此时最小值为f(m)=2m，最大值为f(n)=2n
解得m=-2，n=0

情况2：m≤1，n≥1
此时最大值为f(1)=1/2，最小值为f(m)与f(n)中较小的一个
于是2n=1/2，n=1/2，不符合前提

情况3：m>1
此时最小值为f(n)=2m，最大值为f(m)=2n
解得m=-2或m=0，不符合前提

综合情况1、2、3，m=-2，n=0

f(-2)=-4
f(1)=1/2
所以f(x)在(-2,2]上的值域为(-4,1/2]

追问

所以f(x)=-(1/2)x²+x=-(1/2)(x-1)²+1/2能说细点吗

追答

f(x)
=-(1/2)x²+x
=-(1/2)x²+x-1/2+1/2
=-(1/2)(x²-2x+1)+1/2
=-(1/2)(x-1)²+1/2