Question

大学数学分析：如图（图1为题，图2为解析），则解析是默认了t与n服从与书上规定不一样的左手法则吗？

题中没有说t与n服从左手还是右手法则。图3为书上规定的t与n的方向关系。求解答谢谢！

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Answer 1

规定是一样的，书上规定的是对应的内法线。法线方向指向曲线的内部。题目中说的是外法线方向，正好方向相反。才有题上的结论。

追问

题中说的确实是n是外法线方向，但是t与n遵循的应该还是书上规定的右手定则（而不是左手定则）吧？但是这题我验证发现默认的是t与n遵循左手定则。求解答谢谢！

n不管是内法线方向还是外法线方向，只要与t遵循相同的定则，结果是一样的吧？

追答

结果是一样的，你看看那个图。他这个和右手定则差一个符号，t的方向没变，n的方向变为相反的方向了。

追问

你是说这个题要我证明的结果确实就和遵循右手定则时的结果差一个符号是吗？也就是要证明这个题，得默认遵循左手定则是吗？求解答谢谢！

追答

他是遵守右手定则的。你就用右手定则的定义去验证就好了。画出图，注意角度转换。

追问

没有吧？图2是解析，从后往前看，其中sin(t,x)=cos(t,y)，而由图3（规定的右手定则）的两个等式代入可得cos(t,y)=-cos(n,x)，而并不是解析中的没有负号（n无论取外法线还是内法线方向，图3的两个等式都成立）。求解答谢谢！

图3中，n取的内法线方向，换成外法线方向的话t的方向也要随之变的，因为要遵循右手定则。

追答

你看看第三个图里面是谁和谁的夹角。然后你再看看第二图里面是谁和谁的夹角。仔细看看，画画图，你能算出来的。

追问

见下图，因为题中说n是外法线方向，那就把图3的改成外法线方向，仍然遵循右手法则，结果是：sin(n,x)=cos(t,x)，与解析不符啊。求解答谢谢！

追答

你要像数学分析书上一样先规定闭曲线的方向，然后在确定切向和外法向。这个时候的切向是和曲线的定向有关的。

追问

题目中没有规定，那就是我自己来规定吗？以哪种可以证出来就规定成哪种吗（另一种会多个负号，就比如说另一种就是我上面刚发的这张图的这种）？求解答谢谢！

追答

和课本上规定闭曲线的定向一致就可以了。还是不要自己规定的好。

追问

课本上没有写怎么规定闭曲线定向，只写了个大致意思是“以参数形式的曲线方程的参数的范围从小到大变化的方向为曲线方向”。貌似用不到这题上。

追答

按这个上面规定的方向。

追问

那见下图，t的方向对了，但n要是外法线方向的话，t与n就成左手法则了（而不是书上只讲了的右手法则），所以这题咋回事？求解答谢谢！

右手法则见图3

追答

你就按右手法则处理。取-N方向。

追问

按右手法则处理的话，由于题中要求n是外法线方向，所以刚刚发的上图中t的方向就得改变了，改变后t的方向就是负向，那么格林公式就得加个负号，即图2解析中倒数第二个式子就不等于倒数第三个式子了（而是等于倒数第三个式子的负值）。

求解答谢谢！

追答

对不起，水平有限解决不了您的问题。