Question

（Ⅲ）若二面角A-B1E-A1的大小为30°，求AB的长． 最主要回答这个问题

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角A-B1E-A1的大小为30°，求AB的长．

Answer 1

设AB=m,

以A为原点，分别以AB、AD、AA1为X、Y、X轴，建立空间直角坐标系，

A（0，0，0），B（m,0,0),C(m,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(m,0,1),C1(m,1,1),D1(0,1,1),E(m/2,1,0),

设平面AB1E法向量n1=(x1,y1,1),

平面A1B1E法向量n2=(x2,y2,1),

向量AE=(m/2,1,0),

向量AB1=(m,0,1),

∵向量n1⊥平面AB1E，

∴n1·AE=x1m/2+y1=0,

n1·AB1=mx1+1=0,

x1=-1/m,y1=1/2,

∴n1=(-1/m,1/2,1),

同理，向量A1E=（m/2,1,-1)

A1B1=(m,0,0),

n2·A1E=mx2/2+y2-1=0,

n2·A1B1=x2m=0,

x2=0,y2=1,

∴n2=(0,1,1),

向量n1·n2=0+1/2+1=3/2,

|n1|=√（4+5m^2)/2m,

|n2|=√2，

二平面夹角为30度，

cos30°|n1|*|n2|=n1·n2,

[√（4+5m^2)/2m]*√2*√3/2=3/2，

∴m=2,

∴AB=2.

追问

请问法向量是如何得来的

Answer 2

第一个
因为AA1=AD=1 所以A1AD1D是正方形

所以AD1垂直于A1D
因为CD垂直于AA1D1D
AD1在面AA1D1D面内
所以AD1垂直于CD

所以AD1垂直于面A1B1CD面
E是CD重点 所以B1E在面A1B1CD面内 所以 B1E垂直于AD1

第二个 A1B1中点P 因为B1P ED平行且相等 所以PD平行于EB1 因为B1E在面AEB1内 所以PD平行于面AEB1 长度和B1E一样长