Question

已知定义域为R的函数f(x)满足:对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)

(1)证明f(x)是R上的奇函数。 (2)若对任意x>0,都有f(x)<0，判断函数f(x)在定义域上的单调性，并证明。 (3)若对任意的t∈R，不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0恒成立，求k的取值范围。

Answer 1

(1)令y=0;
得:f(x)=f(x)+f(0)
得:f(0)=0
再令y=-x
得:f(0)=f(x)+f(-x)
所以:f(x)=-f(-x)..................既证奇函数
(2)令x>0,y>0
设x1=x+y;x2=x
则，x1>x2>0..........(1)
且f(x1)-f(x2)=f(x+y)-f(x)=f(y)
因为y>0,则f(y)<0
所以，f(x1)<f(x2)...............(2)
由(1)(2)得:是单调递减的;
然后根据奇偶性，可知，在x<0时，也是递减的，所以函数在定义域上递减
(3)
只能在(2)的前提下做第三题;
f(t²-2t)+f(2t²-k)=f(3t^2-2t-k)<0=f(0)
由单调递减得:3t^2-2t-k>0恒成立;
故k<3t^2-2t;
k要小于右边的最小值;
右=3[(t-1/3)^2]-1/3>=-1/3
所以k<-1/3