Question

在△abc中,ab=ac,∠a=90,点d是bc的中点,用一块三角尺的直角顶点与点d重合,将

△ABC中,∠A=90°,AB=AC,O是BC的中点,将一把三角尺的直角顶点与O重合,并绕O点旋转,使该三角尺的两直角边与边AB,AC相交于点E,F（E,F不与A,B,C重合）,连接E,F
（1）在旋转过程中,观察△OEF的形状,并证明你的结论;
(2)试猜想：线段BE、EF、FC能否组成一个直角三角形?若能,请给出证明：诺不能,请说明理由.

Answer 1

（1）△OEF是等腰三角形
连接AO
证明：∵点O是BC的中点,且AB=AC（已知）
∴∠AOB=60（等腰三角形的三线合一）
同理可得AO平分∠BAC
∴∠BAO=∠COA=45°（角平分线意义）
∴∠B=∠C=45（等边对等角）
∴∠B=∠BAO（等量代换）
∴BO=AO（等角对等边）
∴∠B=∠OAC（等量代换）
∵∠BOE+∠EOA=90°（余角的意义）
∵∠EOF=90°
∴∠AOF+∠AOE=90°
∴∠EOB=∠AOF（同角的余角相等）
在△BOE与△AOF中
｛∠B=∠E
BO=AO
∠EOB=∠AOF
∴△BOE≌△AOF（A.S.A）
∴OE=OF(全等三角形的对应边相等)
∴△OEF是等腰直角三角形
（2）能.
延长EO到M,使OM=OE,连接CM,FM.
在△EOB与△MOC中
｛EO=MO
∠EOB=∠COM（对顶角相等）
BO=CO
∴△EOB≌△MOC（S.A.S）
∴∠B=∠OCM,BE=CM（全等三角形对应边相等）
∵△EOF是等腰直角三角形（已证）
∴∠EOF=90°
∵OE=OM
∴EF=MF（等腰三角形的三线合一）
∵∠A=90°（已知）
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C=45°(三角形的内角和为180°)
∴∠OCM=45°（等量代换）
∴∠OCM+∠C=90°
即∠FCM=90°
∴FC,CM,FM组成一个直角三角形
∴BE,EF,FC组成一个直角三角形（等量代换）