Question

已知二次函数f（x）=x2+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜...

已知二次函数f（x）=x2+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}． （1）求f（x）的解析式； （2）若不等式f（x）＞mx-1对于x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，可得1，3为方程f（x）=x2+bx+c=0的两根，由韦达定理可得b，c值，进而得到f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞mx-1对于x∈R恒成立，则x2-（m+4）x+4＜0对于x∈R恒成立，可得对应函数的图象与x无交点，对应方程的△＜0，构造关于m的不等式，解得答案．
解答：解：（1）不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}．
∴1，3为方程f（x）=x2+bx+c=0的两根
即1+3=-b，1•3=c
解得b=-4，c=3
∴f（x）=x2-4x+3
（2）若不等式f（x）＞mx-1对于x∈R恒成立，
即x2-（m+4）x+4＜0对于x∈R恒成立，
即△=（m+4）2-16＜0
解得-8＜m＜0
故实数m的取值范围为（-8，0）
点评：本题考查的知识点是二次函数恒成立问题，函数解析式的求法，函数、方程、不等式之间的关系，难度不大．