Question

如图，空间四边形ABCD中，E为AB的三等分点，即AB=3AE，F为AD的中点，求证：直线EF与平面BCD相交

如图，空间四边形ABCD中，E为AB的三等分点，即AB=3AE，F为AD的中点，求证：直线EF与平面BCD相交

Answer 1

利用反证法，假设EF∥平面BCD。
∵ABCD是空间四边形，∴平面ABD、平面BCD是两相交平面，∴BD是两平面的交线。
由假设，EF∥平面BCD，∴EF∥BD，而F是AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，
∴E是AB的中点。······①
由已知，E却是AB的三等分点。······②
①、②的矛盾，说明EF∥平面BCD的假设是错误的，∴EF与平面BCD相交。

Answer 2

证明：∵EF∈面ABD BD∈面ABD 而EF不平行BD （E为AB三等分点，不为AB中点）
∴设EF∩BD=G
G∈EF G∈BD
又∵BD∈面BCD
∴G∈面BCD
而 G∈EF
∴EF∩面BCD=G
直线EF与平面BCD相交