Question

求一道高中数学，要详细过程，先谢谢了

设一椭圆中心为原点，长轴在X轴上，离心率为根号3/2，若圆C：Xˆ2+（Y-3/2）ˆ2=1上点与这椭圆上点的最大距离为1+根号7，试求这个椭圆的方程。

Answer 1

标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
e=c/a得到3a^2=4c^2,c^2=3b^2,a^2=4b^2
圆C：Xˆ2+（Y-3/2）ˆ2=1上点与这椭圆上点的最大距离为1+根号7
即圆C的圆心到椭圆上的点最大距离为根号7
即Xˆ2+（Y-3/2）ˆ2=7与椭圆x^2/4b^2+y^2/b^2=1只有两个交点（左右各一个）
-4y^2+4b^2+（Y-3/2）ˆ2=7只有一解
得到b^2=1
x^2/4+y^2=1

Answer 2

x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),x=acosr,y=bsinr

e^2=c^2/a^2,3/4=(a^2-b^2)/a^2,a=2b
d^2=(2bcosr-0)^2+(bsinr-1.5)^2=-3(bsinr)^2-3bsinr+4b^2+2.25,
当sinr=-0.5/b时，d^2取得最大值4b^2+3=7,b=1,a=2b=2
x^2/4+y^2=1

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