Question

求一道高中数学，要详细过程，谢谢

已知函数f(x)=2axˆ3+9axˆ2-6x+a在区间(-2，-1)上是增函数，且在区间(-1/2，0)上是减函数，则实数a的取值范围是()

Answer 1

f(x)导数=6axˆ2+18ax-6=6(axˆ2+3ax-1)
而xˆ2+3x=x(x+3)
当x∈(-2，-1)或
x∈(-1/2，0)时都是负的
所以
设g(x)=1/(xˆ2+3x)
当x∈(-2，-1)时
g(x)大于-1/2
当x∈(-1/2，0)时
g(x)＜-4/5
所以
f(x)在区间(-2，-1)上是增函数
得导数大于0在(-2，-1)恒成立
得到axˆ2+3ax-1＞0
∴a＜1/1/(xˆ2+3x)
由上知
a≤-1/2
同理
f(x)在区间(-1/2，0)上是减函数，得导数＜0在(-1/2，0)恒成立
得到
a≥-4/5
综上
a∈[-4/5,-1/2]