Question

求z=x²+y²+2xy-2x 在x²+y²≤1的区域内的最小值与最大值

Answer 1

f(x,y)=x^2+y^2+2xy－2x,g(x,y)=x^2+y^2－1.
先考虑f(x,y)在圆内的驻点,af/ax=2x+2y－2＝0,af/ay=2y+2x＝0,无解.
再考虑边界.令F(x,y ,a)=f(x,y)+ag(x,y),驻点方程为
aF/ax=2x+2y－2+2ax=0,
aF/ay=2y+2x+2ay＝0,第一个方程乘以y减去第二个方程乘以x得
y^2－x^2=y.再将x^2＝1－y^2代入得
(2y+1)(y－1)=0,于是驻点为
(0,1),(根号(3)/2,－1/2),(－根号(3)/2,－1/2).对应的函数值为
1,1－3根号(3)/2,1+3根号(3)/2.
于是最大值在(－根号(3)/2,－1/2)达到为1+3根号(3)/2,
最小值在(根号(3)/2,－1/2)达到为1－3根号(3)/2