Question

已知△ABC的三边长为a,b,c,且a+b+c=2,求证a^2+b^2+c^2+2abc<2（要过程）

Answer 1

证明：
由a+b+c=2两边平方,得 a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=4
a^2+b^2+c^2=4-2(ab+bc+ca)
代入条件式知,原不等式等价于
ab+bc+ca-abc>1.
令f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)
=x^3-2x^2+(ab+bc+ca)x-abc,
则f(1)=1-2+(ab+bc+ca)-abc
=ab+bc+ca-abc-1.
另方面,由a、b、c∈(0,1),得
f(1)=(1-a)(1-b)(1-c)>0,
所以,ab+bc+ca-abc>1
即a^2+b^2+c^2+2abc<2.