Question

一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,在圆锥内部有一个高为xcm的内接圆柱

一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,在圆锥内部有一个高为xcm的内接圆柱

（1） 求圆锥的表面积
（2）当x为何值时，圆柱侧面面积最大？求出最大值。
详细过程 谢谢！

Answer 1

圆锥表面积=圆锥侧面积+底面积=πLR+πR×R
其中L是圆锥母线长，R是圆锥底面半径=2cm
L平方=底面半径平方+高平方=2×2+6×6=40
L=40开平方
内接圆柱侧面积=2πr×h
r是内接圆柱的底面半径
h是内接圆柱的高
式中
h=X
r有如下关系：
r/R=（6-X）/6
即r/2=（6-X）/6 r=（6-X）/3
将r和h代入2πr×h
得内接圆柱侧面面积=2π×（6-X）/3×X=2π/3（6-X）×X
当X=3时有最大值，最大值为6π平方cm

Answer 2

将其转化为平面图形是一个三角形内接一个矩形。设圆柱的直径为z;那么矩形的宽为z.圆柱顶端到圆锥顶端的距离为6-x.利用相似比(6-x)/6=z/4,z=4-(2/3)x。圆柱的轴截面即矩形的面积为：s=[4-(2/3)x]x=-(2/3)x^2+4x