Question

数列[a]满足a1=1数列[2^n/an]是公差为1的等差数列 (1)求数列[an]的通项公式 (2

数列[a]满足a1=1数列[2^n/an]是公差为1的等差数列 (1)求数列[an]的通项公式 (2)设bn=n(n+1)an,求数列[bn]的前n项和Sn,

Answer 1

解：
1、
2/a1=2/1=2
2ⁿ/an=2+1×(n-1)=n+1
an=2ⁿ/(n+1)
n=1时，a1=2/(1+1)=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ/(n+1)。
2.
bn=n(n+1)an=n(n+1)2ⁿ/(n+1)=n×2ⁿ
Sn=b1+b2+...+bn=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
2Sn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Sn-2Sn=-Sn=2+2²+2³+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
=2×(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2^(n+1)
=(1-n)×2^(n+1) -2
Sn=(n-1)×2^(n+1) +2

Answer 2

（1）令{2^n/an}为cn，a1=1，则c1=2。因为cn为d=1的等差数列，所以cn=2+n-1=n+1
所以an=2^/n+1
(2) bn=n×2^n
Tn=1×2+2×2^2+......+n×2^n ①
2Tn= 0 +1×2^2+......+(n-1)×2^n-1+n×2^n+1 ②
①-②，得Tn=(n-1)×2^n+1 +2

Answer 3

（1）由题意知2^n/an=n+1 an=/（n+1 ）
（2）bn=n * 2^n
Sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3………… （a)
2Sn= 1*2^2+2*2^3+3*2^4………… (b)
（a)- (b)…………