Question

如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE垂直于AB，DF垂直于AC，垂足分别是E,F

如图,AD是三角形ABC的角平分线.DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E,F，连接EF，EF与AD交与点G，AD与EF垂直吗？证明你的结论。

此题老师给我们讲的是用二次全等，但我用垂直平分线的逆定理证了一下，但不知道对不对。跪求大神看看对不对。。。

以下为证明过程：
因为AD是角平分线
所以DE=DF
所以D在线段EF的垂直平分线上
利用HL证明三角形AED全等于三角形AFD
可得AE=AF
所以A在F的垂直平分线上
又因为两点确定一条直线
所以AD垂直平分EF
所以AD⊥EF

Answer 1

证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED＝∠AFD＝90
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵AD＝AD
∴△AED≌△AFD （AAS）
∴AE＝AF
∵AG＝AG
∴△AGE≌△AGF （SAS）
∴∠AGE＝∠AGF，GE＝GF
∵∠AGE+∠AGF＝180
∴∠AGE＝∠AGF＝90
∴AD⊥EF
∴AD垂直平分EF

Answer 2

是正确的。本质上是通过一次1.全等和2.垂直平分完成的。
不如这样。
直接先证明AED和AFD全等（直角，共边，平分角）。然后再说明 AE=AF DE=DF 那么AD和EF互相垂直平分。完毕。

追问

那个，我垂直平分那点没学好。。
问一下你刚刚说AE=AF DE=DF 则AD和EF互相垂直平分、、
我想知道是怎么来的。。
互相垂直平分这点我一直不懂。。

追答

互相垂直平分说错了。这里AG和GD不一定相等。

Answer 3

<EAD=<FAD,<AED=<AFD,AD=AD
所以AED全等AFD
所以AE=AF
<EAG=<FAG，AE=AF，AG=AG
所以AGE全等AGF
所以<AGE=<AGF=90度
所以。。。

Answer 4

AD⊥EFAD是三角形ABC的角平分线,DE垂直于AB,DF垂直于AC,垂足分别是E,F,∴△AED≡△AFD(AAS)
∴AE=AF
∴AD⊥EF（三合一）

Answer 5

个人认为没问题，思路很清晰啊

追问

= =我也认为没问题，可是当时我老师说不对，不能那样证。。。
不知道是当时我的表述有问题还是怎么回事。。。
垂直平分线的逆定理就是这么用的是么？

追答

理解不能啊，你问问老师为什么说不行，超纲了......?没看出不妥啊，难道我智商捉急......一定要问清楚......可能是细节问题，也可能老师不够胆大，墨守成规......

追问

那啥，其实这是八年级的题，现在已经九年级了。。
虽然老师没换，但是不敢问所以只能到这问。。。
既然对了那就没啥问题了。。。

追答

感觉就是这样子了，挺简单一定理，也没什么复杂的，也就是你写的那个样子。有的时候得到老师的承认才觉得心安理得，但是老师也有犯错误的时候。只有一种情况例外，就是老师怕判卷人秀逗没看明白你写什么，才不让你这么写......

追问

不是写在试卷上的。。
只是上课了讨论问题。。
我这么耿耿于怀是因为当时我把这个方法提出来之后老师就矢口否认啥的。。
而且下课之后也没人知道为啥不对所以我才来问的。。。

追答

加油吧，可能老师当时也是秀逗了一下没明白......

追问

嗯谢谢~

追答

我高中老师是数学特级教师，自称认为平面几何难，庆幸不用教平面几何，称想锻炼脑力的要“多玩玩平面几何”......