数学问题!急急急急!!!!!!!!
已知a^2sinA+acosA-1=0,b^2sinA+bcosA-1=0,(A为变量且a不等于b)求点(a,b)所在点曲线方程。我没明白这个题是什么意思,请帮我详细讲一...
已知a^2sinA+acosA-1=0,b^2sinA+bcosA-1=0,(A为变量且a不等于b)
求点(a,b)所在点曲线方程。
我没明白这个题是什么意思,请帮我详细讲一下!谢谢!!!! 展开
求点(a,b)所在点曲线方程。
我没明白这个题是什么意思,请帮我详细讲一下!谢谢!!!! 展开
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a²sinA+acosA-1=0
b²sinA+bcosA-1=0
可以看成a,b为 方程X²sinA+XcosA-1=0 的两个根
根据韦达定理,两根之和:a+b=-cotA 两根之积:ab=-1/sinA。
从而,(ab)²-(a+b)²=1/sin²A - cot² A=1。
故x²y²-(x+y)²=1就是所求的点(a,b)所在曲线方程。
(韦达定理:AX²+BX+C=0
X=[-B±√(B²-4AC)]/2A
两根之和=[-B+√(B²-4AC)]/2A+[-B-√(B²-4AC)]/2A=-B/A
两根之积=[-B+√(B²-4AC)]/2A*{[-B-√(B²-4AC)]/2A}=C/A
b²sinA+bcosA-1=0
可以看成a,b为 方程X²sinA+XcosA-1=0 的两个根
根据韦达定理,两根之和:a+b=-cotA 两根之积:ab=-1/sinA。
从而,(ab)²-(a+b)²=1/sin²A - cot² A=1。
故x²y²-(x+y)²=1就是所求的点(a,b)所在曲线方程。
(韦达定理:AX²+BX+C=0
X=[-B±√(B²-4AC)]/2A
两根之和=[-B+√(B²-4AC)]/2A+[-B-√(B²-4AC)]/2A=-B/A
两根之积=[-B+√(B²-4AC)]/2A*{[-B-√(B²-4AC)]/2A}=C/A
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本题考察的是对参数方程的理解
由原题可以知道,a,b两个未知数满足方程:
a²sinA+acosA-1=0
b²sinA+bcosA-1=0
也就是说,根据此方程,当参数A变化时,满足此方程时,则可得a和b的值。根据三角函数定义可以知道,当A的取值是R,因此,该方程在R内是有意义的。
另一个方面,由值a和值b可构成一个坐标(a,b),该点也是在R上有意义的,那么根据上述方程所确定的值a,b,必定就可以在实数坐标系R内组成一个(a,b)系列的坐标集合,也就是曲线了。
求出该曲线方程,也就是要求出(a,b)所满足的方程。
很显然,原题是参数方程,只要消去参数,就可以得出(a,b)所满足的方程了。即:
a²b²sinA+ab²cosA-b²=0
a²b²sinA+a²bcosA-a²=0
两式相减:
cosA=(a+b)/ab (a,b≠0)
同理:
sinA=-1/ab (a,b≠0)
根据恒等式:(sinA)^2 + (cosA)^2 = 1,得:
(a+b)^2 + 1 = (ab)^2 ,
根据习惯将a,b换成:x,y,则:
(x+y)^2 + 1 = (xy)^2 ,且(x,y≠0)
该方程就是(a,b)满足的曲线方程
由原题可以知道,a,b两个未知数满足方程:
a²sinA+acosA-1=0
b²sinA+bcosA-1=0
也就是说,根据此方程,当参数A变化时,满足此方程时,则可得a和b的值。根据三角函数定义可以知道,当A的取值是R,因此,该方程在R内是有意义的。
另一个方面,由值a和值b可构成一个坐标(a,b),该点也是在R上有意义的,那么根据上述方程所确定的值a,b,必定就可以在实数坐标系R内组成一个(a,b)系列的坐标集合,也就是曲线了。
求出该曲线方程,也就是要求出(a,b)所满足的方程。
很显然,原题是参数方程,只要消去参数,就可以得出(a,b)所满足的方程了。即:
a²b²sinA+ab²cosA-b²=0
a²b²sinA+a²bcosA-a²=0
两式相减:
cosA=(a+b)/ab (a,b≠0)
同理:
sinA=-1/ab (a,b≠0)
根据恒等式:(sinA)^2 + (cosA)^2 = 1,得:
(a+b)^2 + 1 = (ab)^2 ,
根据习惯将a,b换成:x,y,则:
(x+y)^2 + 1 = (xy)^2 ,且(x,y≠0)
该方程就是(a,b)满足的曲线方程
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