Question

数学问题！急急急急！！！！！！！！

已知a^2sinA+acosA-1=0，b^2sinA+bcosA-1=0，(A为变量且a不等于b)
求点(a,b)所在点曲线方程。

我没明白这个题是什么意思，请帮我详细讲一下！谢谢！！！！

Answer 1

a²sinA+acosA-1=0
b²sinA+bcosA-1=0

可以看成a，b为 方程X²sinA+XcosA-1=0 的两个根
根据韦达定理，两根之和：a+b=-cotA 两根之积：ab=-1/sinA。
从而，(ab)²-(a+b)²=1/sin²A - cot² A=1。
故x²y²-(x+y)²=1就是所求的点(a,b)所在曲线方程。

(韦达定理：AX²+BX+C=0
X=[-B±√(B²-4AC)]/2A
两根之和=[-B+√(B²-4AC)]/2A+[-B-√(B²-4AC)]/2A=-B/A
两根之积=[-B+√(B²-4AC)]/2A*{[-B-√(B²-4AC)]/2A}=C/A

Answer 2

本题考察的是对参数方程的理解
由原题可以知道，a,b两个未知数满足方程：
a²sinA+acosA-1=0
b²sinA+bcosA-1=0
也就是说，根据此方程，当参数A变化时，满足此方程时，则可得a和b的值。根据三角函数定义可以知道，当A的取值是R，因此，该方程在R内是有意义的。
另一个方面，由值a和值b可构成一个坐标（a,b），该点也是在R上有意义的，那么根据上述方程所确定的值a,b，必定就可以在实数坐标系R内组成一个（a,b）系列的坐标集合，也就是曲线了。
求出该曲线方程，也就是要求出（a,b）所满足的方程。
很显然，原题是参数方程，只要消去参数，就可以得出（a,b）所满足的方程了。即：
a²b²sinA+ab²cosA-b²=0
a²b²sinA+a²bcosA-a²=0

两式相减：
cosA=（a+b）/ab （a,b≠0）
同理：
sinA=-1/ab （a,b≠0）
根据恒等式：（sinA）^2 + (cosA)^2 = 1，得：
(a+b)^2 + 1 = (ab)^2 ，
根据习惯将a,b换成：x,y，则：
（x+y）^2 + 1 = (xy)^2 ，且（x,y≠0）
该方程就是（a,b）满足的曲线方程