Question

线性代数矩阵相似问题

矩阵A为
1 1 -2
1 -2 1
-2 1 1
矩阵B为
1 1 11 3 1
1 1 1
矩阵C为
0 01
0 0 0
1 0 0
问B C判断其与A是否等价 合同 相似
我就是要一个别人的判断 我做的答案和试卷不一样

Answer 1

　可以根据等价 合同 相似的定义证明
等价：
存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价，充要条件就是R(A)=R(B)。所谓矩阵A与矩阵B等价，即A经过初等变换可得到B。

相似
　设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B.

你问的问题有点不清楚

追问

你那里不明白 B矩阵那里应该是三行 每行3列 就是判断A与B A与C的关系

追答

1 1 -2 1 1 -2 1 1 -2
1 -2 1 -> 0 -3 3 ---> 0 1 -1
-2 1 1 0 3 -3 0 0 0

A的秩为2
同理B C的也为2
所以AB AC 等价
就这样按照书上的定义证明下去

追问

关键是判断 AB AC是否相似 我这里和答案有出入 我这里是认为AB不相似 AC相似

追答

呃 我怎么证明了AB是相似的呢

追问

不是有这条性质 如果A~B 那么A的迹等于B的迹 所以我就判断AB不相似 AC相似了 可答案确实是AB相似 我不知道错在哪了 能把你的方法具体推一下了

Answer 2

因为 r(A)=r(B)=r(C)=2
所以 A,B,C 相互等价.
A的特征值为 3,-3,0
B的特征值为 1, 4,0
C的特征值为 1,-1,0
所以A,B,C不相似(相似矩阵的特征值相同)
但A,C合同(因为正负惯性指数相同)

Answer 3

自己看课本去，有判断公式的。要乘以另一个矩阵之后才能判断