Question

已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系|ka+b|=√3|a-kb|(k为正实数)。

(1)求证:(a+b)⊥(a-b) (2)求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k)，求出f(k); (3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时a与b的夹角θ。

Answer 1

解答:
(1)∵a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)
∴
|a|=√(cos²α+sin²α)=1
|b|=√(cos²β+sin²β)=1
∴
(a+b).(a-b)=a²-b²=1-1=0
∴
(a+b)⊥(a-b)
(2)∵a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)
∴
a.b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),|a|=|b|=1
又
|ka+b|=√3|a-kb|
∴
|ka|²+|b|²+2ka.b=3(|a|²+|kb|²-2ka.b)
∴
k²+1+2kcos(α-β)=3[1+k²-2k(cosα-β)]
∴
2k²-8kcos(α-β)+2=0
∴
cos(α-β)=(k²+1)/(4k)
即f(k)=(k²+1)/(4k)
(3)
f(k)=(k+1/k)/4≥2*√[k*(1/k)]/4=1/2
当且仅当k=1时等号成立
此时cos(α-β)=1/2
∴
a与b的夹角θ是60°