Question

已知函数F(x)=1/3ax^3-bx^2+cx+d的图像过原点，f(x)=F'(x)

f(1)=0函数f(x)与g(x)交于不同的AB两点①F(x)在x=-1处取得极大值2求函数F(x)的单调区间

Answer 1

已知函数F(x)=(1/3)ax³-bx²+cx+d的图像过原点，f(x)=F'(x)，f(1)=0，F(x)在x=-1处取得极大值2，求函数F(x)的单调区间

解：f(x)=F'(x)=ax²-2bx+c；
f(1)=a-2b+c=0.......................(1)
F(-1)=-(1/3)a-b-c+d=2...........(2)
F(0)=d=0...............................(3)
f(-1)=a+2b+c=0.....................(4)
四式联立求解得a=3，b=0，c=-3，d=0.
故F(x)=x³-3x，F′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，故F(x)在(-∞，-1]∪[1，+∞)单调增；在[-1，1]内单调减。

Answer 2

解：∵F（x）的图象过原点，∴d=0．
又f（x）=F'（x）=ax2-2bx+c，f（1）=0，，∴a+c=2b．…①
由y=F（x）在x=-1处取得极大值2知：f（-1）=a+2b+c=0，…②
F(-1)=-1/3a-b-c=2，…③
由①②③得解：a=3，b=0，c=-3，
∴F（x）=x3-3x．
由f（x）=3x2-3≥0，得x≥1或x≤-1；由f（x）=3x2-3≤0，得-1≤x≤1．
∴F（x）的单调递减区间为[-1，1]，单调递增区间为（-∞，-1]和[1，+∞）．