Question

1/(3+sinx^2)dx的 不定积分

Answer 1

(sinx)^2=1-(cosx)^2=(tanx)^2/(1+(tanx)^2)

原式=∫(1+(tanx)^2)dx/(3+4(tanx)^2)

=(1/3)∫(secx)^2dx/(1+((2/√3)tanx)^2)

=(1/3)*(√3/2)∫d((2/√3)tanx)/(1+((2/√3)tanx)^2)

设t=(2/√3)tanx

原式=(√3/6)∫dt/(1+t^2)

=(√3/6)arctan(t)

=(√3/6)arctan((2/√3)tanx)

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

积分都满足一些基本的性质。在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

参考资料来源：百度百科——不定积分

参考资料来源：百度百科——不定积分

Answer 2

令x＝2u，则：u＝x/2，dx＝2du。
∴∫｛1/［3＋（sinx）^2］｝dx
＝2∫｛1/［3＋（sin2u）^2］｝du
＝2∫｛1/［3（cosu）^4＋3（sinu）^4＋10（sinu）^2（cosu）^2］｝du
＝2∫｛1/［（3cos^2u＋sin^2u）（cos^2u＋3sin^2u）］｝du
＝（1/2）∫｛1/［3（cosu）^2＋（sinu）^2］｝du
　＋（1/2）∫｛1/［（cosu）^2＋3（sinu）^2］｝du
＝（1/6）∫｛1/［（cosu）^2＋（1/3）（sinu）^2］｝du
　＋（1/2）∫｛1/［（cosu）^2＋3（sinu）^2］｝du
＝（1/6）∫｛［1/（cosu）^2］/［1＋（1/3）（tanu）^2］｝du
　＋（1/2）∫｛［1/（cosu）^2］/［1＋3（tanu）^2］｝du
＝［1/（2√3）］∫｛（1/√3）（tanu）′/［1＋（1/3）（tanu）^2］｝du
　＋［1/（2√3）］∫｛√3（tanu）′/［1＋3（tanu）^2］｝du
＝［1/（2√3）］∫｛1/［1＋（1/3）（tanu）^2］｝d［（1/√3）tanu］
　＋［1/（2√3）］∫｛1/［1＋3（tanu）^2］｝d（√3tanu）
＝［1/（2√3）］arctan［（1/√3）tanu］＋［1/（2√3）］arctan（√3tanu）＋C
＝（√3/6）arctan［（√3/3）atn（x/2）］＋（√3/6）arctan［√3tan（x/2）］＋C