Question

一道数学题，求详解。

定义：
T（a1，a2，……，a﹙2n﹚）=(a(n﹢1﹚,a1,a﹙n＋2﹚,a2,……,a(n－1),a(2n),an)
问：对哪些正整数n，上述操作是周期的？

Answer 1

解:
令A=（a1，a2，…，a（2n））。考察T（a1，…，a（2n））中各个分量ai的位置。a1是T（A）的第二个分量，…，an是T（A）的第2n个分量，这等价于a（n加1）是T（A）的第2（n加1）（mod2n加1）个分量。
一般地，我们可以证明，A中的第i个分量是T（A）中的第2i（mod2n加1）个分量。①
⑴当i≦n时，①显然成立
⑵当i＞n时，令i=n加k，那么，对于A与T（A）来说，可知a（n加k）是T（A）的第2k-1个分量，但
2i=（2n加1）加2k-1≡2k-1（mod2n加1）
所以，①式成立
考察A中的第i个分量ai它是T（A）中第2i个分量，是T²（A）中第2²i个分量，…，是T^r（A）中的第2^ri个分量。
要使2^ri≡i（mod2n加1），找一充分条件:2^r≡1（mod2n加1）。利用2^（Ψ（2n加1））≡1（mod2n加1），Ψ为欧拉函数，那么可知，A中第i个分量ai是T^r（A）中第2^ri≡i（mod2n加1）个分量，即回到原状态。因此，对一切正整数n，操作T都是周期性的。