Question

计算积分∮e^z/z(z-1)^2dz, C:|z|=2.

这题我看解析是说 z=0是被积函数f(z)=e^z/z(z-1)^2的一阶极点，z=1为二阶极点。

怎么判断z=0为一阶极点，z=1为二阶极点的？其他的过程我懂了就这里不会判断！！求详解啊！！方法简单点啊，不用罗伦展开式也可以判断为几阶极点吧？

Answer 1

你可以这样理解，极点是零点的倒数。

z=0对于z是一级零点，因此对于1/z就是一级极点，e^z/(z-1)²对于z=0来说是非零的解析点，因此整个函数对于z=0就是一级极点。

另一个点类似：z=1对于e^z/z是非零解析点，对于(z-1)²为二级零点，因此对于e^z/[z(z-1)²]来说是二级极点。

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追问

为什么Z=1对于(z-1)²为二级零点而不是一阶零点呢？

追答

自己看书上零点的定义。

对于多项式的零点级数就是次数。

追问

那f(z)=ze^z/z^2-1，和f(z)=zsinz/(1-e^z)^3 这两题的几阶极点用你这套怎么解释？

追答

z²-1=(z-1)(z+1)，所以z=±1都是一级极点
zsinz/(1-e^z)^3奇点为z=0，可以用乖价无穷小替换，
分子等价于z²，分母等价于z³，因此是一级极点。

请采纳。

Answer 2

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