Question

已知a是实数,函数f(x)=2ax²+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.

方程f(x)=0在区间[-1,1]上有两个相异实根,结合图像得
a>0
f(1)>=0
f(-1)>=0
f(-1/2a)<0和
a<0
f(1)<=0
f(-1)<=0
f(-1/2a)>0解得a>=5或a<-(3+√7)/2
请问这两个式子是怎么得出来的?
两个式子指的是
a>0
f(1)>=0
f(-1)>=0
f(-1/2a)<0和
a<0
f(1)<=0
f(-1)<=0

Answer 1

数学之美团为你解答
这个题目做得有问题，题目只是说函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点，但并没说要有
2个0点，也就是说至少有1个0点。有1个0点的情况有2种：一种是函数图象与x轴相切时；另一种是函数图象与x轴的一个交点在[-1,1]内。

函数f(x)=2ax²+2x-3-a=2a(x+1/2a)^2-(2a^2+6a+1)/2a，delta=b^2-4ac=8a^2+24a+4
(1)当a=0时，f(x)=2x-3，与x轴的交点在x=3/2处，不满足题意，故a不等于0

(2)当a>0时，有2个0点时(这里面也包含着1个0点的情况)，要满足题意，需满足：delta>=0，
-1=<-1/2a<=1，f(-1)>=0，f(1)>=0，解得：a>=5
有1个0点时要满足题意，需满足：delta>0，f(-1)*f(1)<=0，解得：1=<a<=5
所以当a>=1时，函数在[-1,1]上至少有一个0点，也同时说明a<0时，不会出现f(-1)和f(1)异号的情况

(3)当a<0时，有2个0点时(这里面也包含着1个0点的情况)，要满足题意，需满足：delta>=0，
-1=<-1/2a<=1，f(-1)<=0，f(1)<=0，解得：a<=(-3-sqrt(7))/2
所以：a<=(-3-sqrt(7))/2时，函数在[-1,1]上至少有一个0点
综上，当a>=1或a<=(-3-sqrt(7))/2时，函数在[-1,1]上有零点。