Question

设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求COV(X,Y),Pxy.

Answer 1

cov(X,Y)= -1/36，ρXY= -1/2，下面是过程。

（1）在三角形内，因为密度均匀，所以概率密度函数p(X,Y)=1/该三角形面积=1/(1/2)=2。

（2）计算E(X)，E(X^2)，E(Y)，E(Y^2)，D(X)和D(Y)。

E(X)=积分X(0到1) 积分Y(0到1-x) x*p(x,y) dydx=积分X(0到1) x(1-x)*2 dx=(x^2-2/3*x^3)|(0,1)=1/3。

E(X^2)=积分X(0到1) 积分Y(0到1-x) x^2*p(x,y) dydx=积分X(0到1) x^2*(1-x)*2 dx=(2/3*x^3-1/2*x^4)|(0,1)=1/6。

因为X,Y对称，所以E(Y)=1/3，E(Y^2)=1/6。

所以D(X)=E(X^2)-E(X)*E(X)=1/6-1/3*1/3=1/18，同理D(Y)=1/18。

（3）E(XY)=积分X(0到1) 积分Y(0到1-x) xy*p(x,y)dydx=积分X(0到1) x(1-x)^2 dx=(1/2*x^2-2/3*x^3 1/4*x^4)|(0,1)=1/12。

（4）所以，根据定义：

COV(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=1/12-1/3*1/3= -1/36。

ρXY=COV(X,Y)/(根号D(X)*根号D(Y))=-1/36/(1/18)= -1/2。

Answer 2

cov(x,y)=-1/36 x+y>2时P=1 2>x+y>1时 P=1-(1-x)^2-(1-y)^2 0<x+y<1时 P=2xy x+y<0 P=0

追问

COV(X,Y)=-1/36是怎么来的？
答案Pxy=-1/2.

追答

晕 我以为是P 原来是罗马字母 相关系数啊