Question

已知函数f（x）=mx-m/x g（x）=2lnx 若x￡（1，e]，不等式f（x）－g（x）<2恒成立，求m范围

Answer 1

解：要使f（x）－g（x）<2恒成立，只要使f(x)max-g(x)min<2恒成立即可。
因为g(x)=2lnx在x￡[1，e]上单调递增，所以其最小值g(x)min=g(1)=0;
而f‘（x）=m+m/x^2,
1、当m≥0,f（x）=mx-m/x单调递减，所以最大值f（x）max=f（1）=m-m=0,
显然f（x）max-g(x)min=0<2恒成立；
2、当m<0时，f（x）=mx-m/x单调递增，所以最大值f（x）max=f（e）=me-m/e
所以要使f(x)max-g(x)min<2恒成立,
只要使f（x）max-g(x)min=me-m/e<2恒成立，
解得m<2/(e-1/e),所以m<0
综上所述，对于m∈R，都满足f（x）－g（x）<2恒成立

祝你学业更上一层楼，望采纳。

Answer 2

参变分离法：f(x)-g(x)<2 ,mx-x/m<2+2lnx，因为1<x<=e,所以,原不等或可化为m<(2x+2xlnx)/(x^2-1),令h(x)=(2x+2xlnx)/(x^2-1),求导h"(x)=-(4+2x^2lnx+2lnx)/(x^2-1)^2恒小于0,所以h(x)最小值h(e)=4e/(e^2-1)所以m<4e/(e^2-1)